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Was sind Schnittgrößen?

Wenn eine äußere Belastung auf einen Balken einwirkt, dann verursacht sie innere Belastungen im Querschnitt des Balkens. Diese inneren Belastungen heißen Schnittgrößen oder Schnittreaktionen. Sie sind in der Technischen Mechanik von großer Bedeutung, da sie Auskunft darüber geben, wie groß die Belastung in einem Tragwerk ist.

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Aufgabe: Schnittgrößen berechnen

Der abgebildete Balken der Länge \( L \) ist fest-los-gelagert und wird mit der konstanten Linienlast \( q_0\) belastet. Es sind die Schnittreaktionen \( N,\:Q,\:M_b \) des Balkens zu ermitteln.

Gegeben: \( q_0=20\,\frac{kN}{m};\:L=10\,m \)

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Lösung

Schritt 1: Lagerkräfte berechnen

Um die Schnittgrößen berechnen zu können, müssen zuerst die Lagerkräfte berechnet werden. Die Streckenlast verteilt sich gleichmäßig auf ein symmetrisches System. Die Gesamtbelastung, die von der Streckenlast ausgeht, wird demnach gleichmäßig auf beide Lager aufgeteilt.

$$ F_{res} = q_0 \cdot L = 200\,kN$$ $$\Rightarrow A_V=B_V=\frac{F_{res}}{2}=100\,kN$$ $$A_H=0$$

Schritt 2: Bereiche einteilen und Schneiden

Bevor man schneidet, muss man zuerst klären, wo überall geschnitten werden muss. In den allermeisten Fällen gilt: Pro Bereich ein Schnitt. Um die Bereiche leichter einzuteilen, hilft folgendes Gedankenexperiment:

Man macht auf den Balken einen kleinen Spaziergang. Dazu startet man, wie in der Animation zu sehen, links beim Festlager. Das ist der Beginn des 1. Bereichs. Dann läuft man so lange weiter, bis die erste Unterbrechung oder “Unstetigkeit” kommt. In diesem Fall ist die nächste Unterbrechung erst am Ende des Balkens. Dort greift einerseits die Lagerkraft \( B_V \) an und andererseits endet der Balken an dieser Stelle. Sobald man also vor der ersten Unterbrechung steht, endet damit der erste Bereich. Da der Balken nun hier endet, gibt es keine weiteren Bereiche. Das System hat also nur einen einzigen Bereich.

Pro Bereich ein Schnitt

Den Schnitt setzt man an einer beliebigen Stelle. Der Bereich ist insgesamt \( L=10\,m \) lang. Ich könnte also am Anfang bei \( x \approx 0 \) schneiden. Oder am Ende bei \( x \approx 10\,m \). Ich könnte aber auch irgendwo dazwischen, an einer beliebigen Stelle \( x \) schneiden, die sich zwischen \( 0 \) und \( 10\,m \) befindet.
Für die Laufkoordinate gilt daher: \( \, 0 < x < L \)

Laufkoordinate richtig einzeichnen

Im Freischnitt zeigt die Laufkooridnate \( x \) immer vom Anfang des Bereichs bis zum Schnitt. Wenn die Koordinate nicht genauso eingezeichnet wird, dann können später die Längen bei der Momentengleichung nicht korrekt ermittelt werden.

Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen aufstellen

Wenn man einen Bereich schneidet, indem sich eine Streckenlast befindet, dann darf man nicht vor dem Schnitt die Resultierende der Streckenlast bilden. Zuerst wird mit der Streckenlast geschnitten, danach erst wird im Schnitt selbst (im positiven bzw. negativen Schnittufer) die resultierende Kraft der Streckenlast gebildet. Und das sieht dann so aus:Wie man hier gut erkennen kann, ist die Resultierende erst nach dem Schneiden berücksichtigt worden. Dadurch erhält man den Kraftangriffspunkt in der Mitte des Bereichs bei \( \frac{x}{2} \). Die resultierende Kraft ist so groß wie der Flächeninhalt der Streckenlast:

$$ F_{res} = q_0 \cdot x $$

Überblick: Streckenlast berechnen: Formeln und Überblick. Jetzt wo die Streckenlast richtig berücksichtigt wurde, können die gesuchten Schnittgrößen \( N,\:Q,\:M_b \) mit den Gleichgewichtsbedingungen und dem Freischnitt ermitteln werden.

1. Bereich: \( \, 0 < x < L \)

Summe aller Kräfte in horizontaler Richtung:
$$\sum F_H=0=N+A_H$$ $$\Rightarrow N=-A_H=0$$
Summe aller Kräfte in vertikaler Richtung:
$$\sum F_V=0=Q+F_{res}-A_V$$ $$\Rightarrow Q=A_V-F_{res}$$ $$Q=\frac{q_0 \cdot L}{2}-q_0 \cdot x$$

In der letzten Zeile bei der Querkraft wurden die Ausdrücke für \( F_{res} \) und \( A_V \) eingesetzt. Jetzt noch das Momentengleichgewicht aufstellen, aber Achtung: Die Momentengleichung stets um den Schnitt \( S \) aufstellen, zumindest bei den Schnittgrößen.

Summe aller Momente um Schnitt S:
$$\sum M^S=0=M_b-A_V \cdot x+F_{res} \cdot \frac{x}{2}$$ $$\Rightarrow M_b=A_V \cdot x-F_{res} \cdot \frac{x}{2}$$ $$M_b=\frac{q_0 \cdot L}{2} \cdot x-\frac{q_0}{2} \cdot x^2$$

Schritt 4: Schnittgrößenverläufe zeichnen

Jezt wo die Schnittgrößen berechnet worden sind, fehlt noch die Darstellung der Schnittgrößen. Die Schnittgrößenverläufe sehen so aus:

Normalkraftverlauf

Querkraftverlauf

Der Querkraftverlauf ist linear. Das erkennt man an dem \( x \) in der Querkraftgleichung. Eine lineare Funktion (also eine gerade Linie) zeichnet man ganz einfach: Man bestimmt zwei Punkte auf der Geraden und verbindet sie zu einer Linie. Dafür berechnen wir die Querkraft am Anfang und am Ende des Balkens:

$$Q(0)=+\frac{q_0 \cdot L}{2}=+100\,kN$$ $$Q(L)=-\frac{q_0 \cdot L}{2}=-100\,kN$$

Momentenverlauf

Der Momentenverlauf ist quadratisch. Das erkennt man daran, dass ein \( x^2 \) in der Momentengleichung auftaucht. Wegen der Symmetrie des Systems erwarten wir eine symmetrische Momentenlinie. Deswegen bestimmen wir am Anfang, in der Mitte und am Ende des Balkens das Biegemoment und verbinden sie parabelförmig miteinander:

$$M_b(0)=0$$ $$M_b\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{q_0 \cdot L^2}{8}=250\,kNm$$ $$M_b(L)=0$$

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Video: Schnittgrößen berechnen

In diesem Video wird Schritt für Schritt erklärt, wie die Schnittgrößen bei einer konstanten Streckenlast berechnet werden.

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Video: Lagerkräfte berechnen

Hier wird noch einmal schrittweise erklärt, wie die Auflagerkräfte eines fest-los-gelagerten Balkens berechnet berechnet werden, wenn darauaf eine konstante Streckenlast bzw. konstante Linienlast einwirkt.

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Zusammenfassung

1. Lagerkräfte berechnen.
2. Bereiche einteilen und schneiden. Ein Schnitt pro Bereich! Resultierende einzeichnen nachdem geschnitten wurde.
3. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen (\( \Sigma\:M^S,\:\Sigma F_x,\:\Sigma F_y \)) und daraus die Schnittgrößen \( N,\:Q,\:M_b \) ermitteln.
4. Schnittgrößenverläufe zeichnen.

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Symmetrie ausnutzen

Wenn der Balken symmetrisch ist und die Belastung ebenfalls mittig bzw. symmetrisch einwirkt, dann lässt sich diese Symmetrie für die Berechnung der Lagerkräfte nutzen. Dann teilen sich nämlich die beiden Auflager die Belastung. Die beiden Küchenwaagen in der Abbildung bestätigen diese Annahme: Das Zahnrad wiegt \( 2\,kg \) wirkt mittig ein. Wir haben also ein symmetrisches System. Die beiden Lager rechts und links (also die Küchenwaagen) teilen sich das Gewicht vom Zahnrad, da sie jeweils ca. \( 1\,kg \) anzeigen. In der Prüfung ist es durchaus erlaubt, solche Symmetrien auszunutzen, um die Auflagerkräfte zu bestimmen. Man muss dann allerdings auf die Symmetrie hinweisen. Etwa so: “Wegen der Symmetrie ist \( A_V=B_V \)”.

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Was man noch wissen sollte…

Wirkt eine Kraft auf einen Balken oder auf ein Bauteil, dann sind zwei Fragen für den Ingenieur wichtig.

1. Wie muss ich meine Lagerung entwerfen, damit sie der Belastung standhält?
2. Wie muss ich das Bauteil selbst entwerfen, damit es der Belastung standhält?

Nehmen wir eine Brücke als Beispiel. Die Lager der Brücke sind wichtig, damit die Brücke auf einem ordentlichen Fundament steht. Gerade um Flüsse herum stehen Brücken auf feuchte und weiche Böden. Man sollte daher wissen, mit welcher Kraft die Brücke auf den (feuchten) Boden wirkt, damit geeignete Gegenmaßnahmen getroffen werden können. Um das zu klären, berechnet man die Lagerkräfte. Auf der anderen Seite gibt es noch die Schnittgrößen. Sie sind nun dafür zuständig, dass die eigentliche Brücke (also die Fahrbahn) korrekt bzw. stark genug ausgelegt wird. Anhand der Schnittgrößen kann man nämlich ablesen, welche inneren Belastungen hervorgerufen werden (wenn zum Beispiel eine schwerer LKW auf der Brücke fährt). Und aus diesen wiederum kann man dann eine passende Konstruktion entwerfen, die den Belastungen standhält.

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